Diferencialaj ekvacioj estas matematika lingvo en kiu la naturo esprimas siajn leĝojn. La ekvacioj priskribas interrilaton pri momenta rapideco de ŝanĝiĝo de unu variablo rilate al alia variablo. Kompreno de diferencialaj ekvacioj estas necesa en la plimulto de sciencoj kaj inĝenierartoj.

Ekzistas multaj realvivaj aplikoj de diferencialaj ekvacioj. Ekzemple en biologio, diferencialaj ekvacioj povas priskribi la rilaton inter predantoj kaj predatoj en ekosistemo, kaj la konsekvencojn de troloĝateco kaj maltroloĝateco. Medicina scienco uzas diferencialajn ekvaciojn por determini la rapidecon de kresko de tumoroj. En inĝenierarto, diferencialaj ekvacioj priskribas kiel elektraj fluoj moviĝas tra cirkvitoj. En kemio, ili priskribas la rapidecon de kemiaj reagoj. Ekonomikistoj uzas diferencialajn ekvaciojn por priskribi profitojn de investoj kaj ekvilibron kaj stabilecon en ekonomiaj merkatoj. En fiziko, la Dua Leĝo de Newton estas diferenciala ekvacio, kaj la Kampaj Ekvacioj de Einstein, kiuj priskribas lian Ĝeneralan Teorion de Relativeco, ankaŭ dependas de diferencialaj ekvacioj. Krome, kiam fizikistoj priskribas ondojn de lumo, sono, aŭ akvo, ili uzas diferencialajn ekvaciojn.

Jen ekzemplo de la uzo de diferenciala ekvacio — la forpaso de radioaktiva substanco:

dN/dt = -λN

kie λ (lambdo) estas pozitiva konstanto, N estas la kvanto de la substanco, kaj t estas tempo. Rimarku, ke dN/dt estas derivaĵo. La ekvacio signifas, ke la rapideco de la forpaso rekte rilatas al la kvanto de la substanco.

Oni povas rearanĝi la ekvacion por meti la N-ojn en la saman flankon de la ekvacio:

dN/N = -λdt

kaj nun oni povas uzi integralan kalkulon por trovi la solvon:

N = N₀ e^-λt

kie N₀ estas la kvanto de la substanco je la komenco.

Jen praktika apliko de la ekvacio: Radioaktiva izotopo havas duoniĝan tempon de 16 tagoj. Oni volas havi 30 gramojn post 30 tagoj. Kiom oni havu komence?

Por solvi, unue trovu la valoron de lambdo. Oni povas trovi ĝin ĉar, pro la difino de duoniĝa tempo, N = N₀/2 post 16 tagoj. t do estas 16 tagoj, N (fina kvanto) estas 1 gramo, kaj N₀ (komenca kvanto) estas 2 gramoj. Metu tiujn numerojn en la ekvacion kaj kalkulu la valoron de lambdo.

Kiam oni jam scias la valoron de lambdo, oni uzas la ekvacion kun t = 30 tagoj kaj N = 30 gramoj por kalkuli la valoron de N₀. La solvo estas 110 gramoj.

Sen diferencialaj ekvacioj, socio ne estus povinta antaŭeniri por krei modernan vivon. La ideoj, sur kiuj baziĝas la ekvacioj, unue ekvidiĝis jam dum la 1630-aj jaroj en Eŭropo. Kaj egale kun diferencialaj ekvacioj, nuntempa socio havas fortan ilon por daŭrigi tian progreson.